Hvad er algebraisk geometri i karakteristik p?

Sædvanlig algebraisk geometri foregår over de komplekse tals legeme, dvs. alle de ringe der optræder er ℂ-algebraer. Algebraisk geometri i karakteristik p (hvor p er et primtal) er når man istedet arbejder med et endeligt legeme 𝔽_{p} som grundlegeme, (eller med en algebraisk lukning af det). Det er svært at danne sig et intuitivt billede af hvordan geometriske objekter ser ud i karakteristik p, men i den algebraiske beskrivelse af objekterne kan man få en fornemmelse af, at de har nogle egenskaber man ikke finder over de komplekse tal:

Eftersom p ≡ 0 i 𝔽_{p} gælder det i enhver 𝔽_{p}-algebra A at p · a = 0 for alle a ∈ A. Det har igen disse to konsekvenser:

1: \frac{d}{dx}x^{p} = p · x^{p−1} = 0

Alle spørgsmål der har med differentialer og glathed at gøre bliver dermed lidt mere spidsfindige i karakteristik p. F.eks. har x^{p−1} ingen stamfunktion.

2: (a + b)^{p} = a^{p} + b^{p} , a, b ∈ A

Det kan man indse ved at skrive alle leddene ud v.hj.a. binomialformlen og bemærke at alle de midterste led har en p-faktor og dermed forsvinder. Dermed bliver afbildningen

F : A → A , a ↦ a^{p}

til en ringhomomorfi. Det er Frobenius-homomorfien.

Denne uskyldigt udseende ringhomomorfi har vide anvendelser: Det viser sig at mange geometriske egenskaber er bestemt ved hvordan Frobenius-homomorfien opfører sig.

Det er også et værktøj som har konsekvenser ind i karakteristik 0 geometri! Hvis en varietet er defineret over ℤ kan man reducere den modulo hvert primideal få en hel familie af varieteter, hvor de generelle familiemedlemmer er varieteter over 𝔽_{p} (en for hvert primtal p) og det specielle familiemedlem er en varietet over ℚ, dvs af karakteristik 0. Hvis alle de generelle medlemmer nu har en eller anden egenskab (som man har etableret via karaktieristik p metoder), kan man i visse tilfælde slutte at det specielle medlem har den samme egenskab. Det er en løs forklaring af det princip der hedder semikontinuitet.

Hov, alt det her bliver vist så generelt og indholdsløst at ingen har glæde af at læse det. Send mig en mail, så skal jeg være glad ved at forklare mig lidt nærmere.

Sidst revideret 10. juni 1995. Joachim Kock