Hvad er Frobenius-splitning?

Lad X være en varietet af karakteristik p. Så er Frobenius-homomorfien givet ved F : O_{X} → F_{∗}O_{X}, f ↦ f^{p}. F_{∗}O_{X} er som abelsk gruppe bare lige med O_{X}, men den har modulstruktur bestemt ved at a.f = a^{p}f, a ∈ O_{X}, f ∈ F_{∗}O_{X}.

Definition. — En varietet X kaldes Frobenius-split hvis den eksakte følge

0 → O_{X} →^{F} F_{∗}O_{X} → B → 0

er split, dvs. hvis der findes en O_{X}-Modulhomomorfi φ : F_{∗}O_{X} → O_{X} sådan at φ∘F = id.

Eksempel. — Lad os kigge på X = 𝔸^{1} dvs. O_{X} = k[x]. Også F_{∗}O_{X} er lig med k[x] som abelsk gruppe betragtet, det har blot den modul-struktur at elementer fra O_{X} ganges på i p’te potens. F_{∗}O_{X} er frit frembragt som O_{X}-modul af følgende p elementer: 1, x, x^{2}, …, x^{p−1}, thi i monomier af grad p eller højere kan vi trække p-potenser ned foran og opfatte det som en O_{X}-skalar. Hvis for eksempel p = 5, kan vi skrive polynomiet: x^{11} + 2x^{2} − x som linearkombination af x og x^{2} på følgende måde:

x^{11} + 2x^{2} − x = x^{10}x + 2x^{2} − x
= x^{2}.x + ^{5} \sqrt{2}.x^{2} − 1.x
= (x^{2} − 1).x + ^{5} \sqrt{2}.x^{2}

hvor (x^{2} − 1) og ^{5} \sqrt{2} er skalarer fra O_{X}. En splitning φ : F_{∗}O_{X} → O_{X} er nu enhver O_{X}-homomorfi der sender 1 over i 1. Så følger det nemlig af O_{X}-linearitet at f^{p} sendes i f sådan som vi ville have det. Altså er 𝔸^{1} Frobenius-split.

Man er meget glad for varieteter der er Frobenius-split; de opfører sig overraskende pænt. F.eks. gælder Kodaira’s Forsvindingssætning altid:

Sætning. — Lad L være et ampelt liniebundt på en Frobenius-split varietet X. Så gælder at H^{i}(X, L) = 0 for i > 0.

Det er ikke så svært at vise. Derimod er det mere kompliceret at give kriterier for hvornår varieteter er split. Det er så det mit speciale handler om.

Som eksempel på en Frobenius-split varietet i ℙ^{n} kan jeg nævne en hyperflade Z(f) af grad n + 1 der opfylder at koefficienten til (x_{0} ⋯ x_{n})^{p−1} i f^{p−1} er forskellig fra 0. En hel del elliptiske kurver opfylder disse betingelser.

Sidst revideret 10. juni 1995. Joachim Kock